Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Wohldefiniert/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist zu zeigen, dass das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Weg von ${}Q_{i}$ nach ${}P_{i}$ ist. Wenn ${}\gamma ,\gamma '$ zwei solche Wege sind, so ist ${}\gamma ^{-1}\gamma '$ eine geschlossener Weg mit ${}P_{i}$ als Auf- und Endpunkt und es gilt

${}\int _{\gamma '}\omega =\int _{\gamma \gamma ^{-1}\gamma '}\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega \,$

für alle holomorphen Differentialformen ${}\omega$. Da die Abbildung ${}\omega \mapsto \int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega$ zum Periodengitter gehört, stimmen die Auswertungen zu ${}\gamma$ und zu ${}\gamma '$ in ${}J(X)$ überein.

Es ist ferner zu zeigen, dass die Abbildung unabhängig davon ist, welchen positiven Punkt des Weildivisors man mit welchem negativen Punkt zusammenordnet. Es seien dazu Punkte ${}Q_{1},Q_{2},P_{1},P_{2}$ gegeben und sei ${}\gamma _{1}$ ein stetiger Weg von ${}Q_{1}$ nach ${}P_{1}$, ${}\gamma _{2}$ ein stetiger Weg von ${}Q_{2}$ nach ${}P_{2}$ und ${}\delta$ ein stetiger Weg von ${}P_{1}$ nach ${}P_{2}$. Dann ist, da man mit beliebigen verbindenden Wegen arbeiten kann,

${}{\begin{aligned}\int _{Q_{1}}^{P_{2}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{1}}\omega &=\int _{\gamma _{1}\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega +\int _{\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega \\&=\int _{Q_{1}}^{P_{1}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{2}}\omega .\end{aligned}}$

Die Homomorphismuseigenschaft ist klar.

Zur bewiesenen Aussage