Beweis

Es seien disjunkte abgeschlossene Teilmengen des kompakten Raumes . Zuerst sei beliebig und ein Punkt. Dann gibt es zu jedem Punkt aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft disjunkte Umgebungen und . Es ist

eine offene Überdeckung. Nach Fakt ist mit auch kompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

Es ist dann eine offene Umgebung von , die zur offenen Umgebung

von disjunkt ist.

Für den allgemeinen Fall gibt es nach diesem speziellen Fall zu jedem disjunkte offene Umgebungen und . Es ist dann

eine offene Überdeckung, für die es wieder eine endliche Teilüberdeckung gibt, die zu disjunkt ist.