Kompakter Raum/Stetige Funktion/Maximumsnorm/Bemerkung

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum. Aufgrund von Fakt ist jede stetige Funktion

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

beschränkt, und damit stimmt der Vektorraum ${}C(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen Funktionen mit dem Vektorraum ${}C^{b}(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen und beschränkten Funktionen überein. Bei ${}X\neq \emptyset$ gibt es auf ${}C^{b}(X,\mathbb {R} )$ stets die Supremumsnorm, die im kompakten Fall wieder wegen Fakt zur Maximumsnorm wird, da das Supremum angenommen wird.