Kompakter Raum/Stetige Funktionen/Satz von Dini/Fakt/Beweis

Beweis

Die Funktionenfolge sei wachsend und es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir betrachten die offenen Mengen

${}U_{n}={\left\{x\in X\mid f(x)-f_{n}(x)<\epsilon \right\}}\,.$

Wegen der Monotonie ist

${}f(x)-f_{n+1}(x)\leq f(x)-f_{n}(x)\,$

und daher ist ${}U_{n}\subseteq U_{n+1}$. Wegen der punktweisen Konvergenz ist

${}X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}\,.$

Aufgrund der Kompaktheit gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}X=U_{n_{0}}\,,$

was die Behauptung bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage