Komplexe Ebene/Standardweg/Windungszahl/Innen konstant/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung von ${}Q$ innerhalb von ${}U{\left(P,1\right)}$. Nach Fakt, angewendet auf ${}{\frac {1}{z-Q}}$, ist

${}\int _{\gamma }{\frac {1}{z-Q}}dz=\int _{\delta }{\frac {1}{z-Q}}dz\,.$

Somit ist

${}\operatorname {ind} _{\delta }(Q)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {dz}{z-Q}}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-Q}}=1\,.$

Zur bewiesenen Aussage