Komplexe Ebene/Weg/Windungszahl/Punktabhängigkeit/Bestimmung/Bemerkung

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ein geschlossener stetiger und bis auf Überkreuzungen injektiver Weg. Nach Fakt ist die Windungszahl auf den zusammenhängenden Teilmengen von ${}{\mathbb {C} }\setminus \gamma ([a,b])$ konstant. Diese Windungszahlen kann man folgendermaßen bestimmen. Außerhalb des Weggeschehens (was man als die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von ${\mathbb {C} }\setminus \gamma ([a,b])$ definieren kann) ist die Windungszahl gleich ${}0$. Wenn man von außen nach innen hineinwandert, so muss man bei jeder Überquerung von ${}\gamma ([a,b])$ (kein Überkreuzungspunkt) die Windungszahl um ${}1$ erhöhen, wenn bei der Überquerung (gesehen von der Überquerungsrichtung) der Weg von links nach rechts verläuft, und um ${}1$ vermindern, wenn der Weg von rechts nach links verläuft. Die Richtigkeit dieses Prinzips kann man sich folgendermaßen klar machen. Es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte, die in benachbarten Zusammenhangskomponenten liegen und wobei der direkte lineare Weg von ${}P$ nach ${}Q$ den Weg, der von links nach rechts verlaufe, einfach im Punkt ${}S$ überquert. Wir betrachten den abgeänderten Weg ${}{\tilde {\gamma }}$, der vor dem Durchstoßungspunkt ${}\gamma$ im Punkt ${}C$ verlässt und einen „Halbbogen“ ${}\delta$ macht, der ${}Q$ miteinschließt und hinter dem Durchstoßungspunkt wieder im Punkt ${}D$ auf ${}\gamma$ einbiegt. Es liegen dann ${}Q$ und ${}P$ in der gleichen Zusammenhangskomponente von ${}{\tilde {\gamma }}$ und ihre Windungszahl stimmt überein. Wir schreiben ${}\gamma$ als Aneinanderlegung

${}\gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\,,$

wobei ${}\gamma _{2}$ den Weg von ${}C$ nach ${}D$ beschreibt. Es ist dann der Weg ${}\gamma _{2}(-\delta )$ ein einfacher Umlauf von ${}Q$ mit Windungszahl ${}1$. Daher ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-Q}}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{2}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z-Q}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{2}(-\delta )}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\delta }{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z-Q}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\gamma }}{\frac {dz}{z-Q}}+1\\&=\operatorname {ind} _{\tilde {\gamma }}(Q)+1\\&=\operatorname {ind} _{\tilde {\gamma }}(P)+1\\&=\operatorname {ind} _{\gamma }(P)+1.\end{aligned}}$