Komplexe Exponentalfunktion/Überlagerung/Beispiel

Die Abbildung

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,$

ist eine Überlagerung. Zu einem Punkt ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und einem Punkt ${}w\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\exp w=z$ gibt es nach Fakt eine offene Umgebung ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }$, die homöomorph auf ${}U:=\exp \left(V\right)$ abbildet. Durch Verkleinern von ${}V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen ${}V$ umd ${}V+2\pi k{\mathrm {i} }$ für ${}k\neq 0$ disjunkt sind. Dann ist

${}\exp ^{-1}(U)\cong \biguplus _{k\in \mathbb {Z} }{\left(V+2k\pi {\mathrm {i} }\right)}\cong U\times \mathbb {Z} \,.$