Komplexe Exponentalfunktion/Überlagerung/Decktransformationsgruppe/Beispiel

Zur Überlagerung

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,$

ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$. Dabei wirkt ${}n\in \mathbb {Z}$ durch die Addition

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto w+n2\pi {\mathrm {i} },$

als Decktransformation. Dass es sich um eine Decktransformation handelt beruht auf den Periodizitätseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion, siehe Fakt. Daraus ergibt sich auch, dass

$\mathbb {Z} \longrightarrow \operatorname {Deck} {\left({\mathbb {C} }{|}{\mathbb {C} }^{\times }\right)}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Nach Fakt ist dies sogar ein Isomorphismus.