Komplexe Exponentialfunktion/-13 pi/Urbild/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass

{}z=\ln \left(13\pi \right)+\pi {\mathrm {i} }\,

ein Urbild ist. Dies ergibt sich unter Verwendung der Funktionalgleichung und der eulerschen Formel durch

{}{\begin{aligned}\exp z&=\exp \left(\ln \left(13\pi \right)+\pi {\mathrm {i} }\right)\\&=\exp \left(\ln \left(13\pi \right)\right)\cdot \exp \left(\pi {\mathrm {i} }\right)\\&=13\pi \cdot {\left(\cos \pi +{\mathrm {i} }\sin \pi \right)}\\&=13\pi \cdot (-1)\\&=-13\pi .\end{aligned}}