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Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis
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Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt
Beweis
Aufgrund von
Fakt
ist
exp
′
(
z
)
=
(
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
)
′
=
∑
n
=
1
∞
(
z
n
n
!
)
′
=
∑
n
=
1
∞
n
n
!
z
n
−
1
=
∑
n
=
1
∞
1
(
n
−
1
)
!
z
n
−
1
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
=
exp
z
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\exp \!'(z)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\\&=\exp z.\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage