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Komplexe Invertierung/Ableitung/Reell und komplex/Aufgabe/Lösung
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Komplexe Invertierung/Ableitung/Reell und komplex/Aufgabe
Die Ableitung ist
f
′
(
z
)
=
−
1
z
2
.
{\displaystyle {}f'(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,.}
In reellen Koordinaten ist die Abbildung durch
z
=
x
+
i
y
⟼
x
x
2
+
y
2
−
i
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\mathrm {i} }{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}
gegeben.
Das totale Differential der Abbildung aus (2) ist
(
(
x
2
+
y
2
)
−
2
x
2
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
2
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
−
(
x
2
+
y
2
)
+
2
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
)
=
(
−
x
2
+
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
2
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
−
x
2
+
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
)
.
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\\{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\\{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{pmatrix}}\,.}
Es ist für
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle {}z=x+{\mathrm {i} }y}
f
′
(
z
)
=
−
1
z
2
=
−
1
(
x
+
i
y
)
⋅
1
(
x
+
i
y
)
=
−
(
x
−
i
y
)
x
2
+
y
2
⋅
(
x
−
i
y
)
x
2
+
y
2
=
−
(
x
−
i
y
)
2
(
x
2
+
y
2
)
2
=
−
x
2
−
y
2
−
2
i
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
=
−
x
2
+
y
2
+
2
i
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}f'(z)&=-{\frac {1}{z^{2}}}\\&=-{\frac {1}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}}\cdot {\frac {1}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}}\\&=-{\frac {\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}{x^{2}+y^{2}}}\cdot {\frac {\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}{x^{2}+y^{2}}}\\&=-{\frac {{\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}^{2}}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}\\&=-{\frac {x^{2}-y^{2}-2{\mathrm {i} }xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}\\&={\frac {-x^{2}+y^{2}+2{\mathrm {i} }xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}.\end{aligned}}}
Die Multiplikation mit
1
{\displaystyle {}1}
ist eben diese Zahl, die Multiplikation mit
i
{\displaystyle {}{\mathrm {i} }}
ist
(
−
x
2
+
y
2
)
i
−
2
x
y
(
x
2
+
y
2
)
2
.
{\displaystyle {\frac {{\left(-x^{2}+y^{2}\right)}{\mathrm {i} }-2xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}.}
Dies führt zur gleichen Matrix wie in Teil (3).
Zur gelösten Aufgabe