Komplexe Konjugation/Winkeltreu/Beispiel

Die komplexe Konjugation

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},$

ist eine ${}\mathbb {R}$-lineare Isometrie. Für das reelle Skalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }$ ist ja

${}{\begin{aligned}\left\langle {\overline {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}},{\overline {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\-b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\-d\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=ac+bd\\&=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\right\rangle .\end{aligned}}$

Daher liegt insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor. Die Winkeltreuheit kann man auch direkt aus

${}{\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot {\overline {\overline {w}}}\right)}}{\vert {\overline {v}}\vert \cdot \vert {\overline {w}}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot w\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,$

folgern.