Komplexe Mannigfaltigkeit/Überlagerung/Rückzug/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist mit auch hausdorffsch. Für eine offene Teilmenge , die homöomorph auf abgebildet wird, muss die komplexe Struktur auf die zurückgezogene Mannigfaltigkeitsstruktur auf sein. Dies folgt im eindimensionalen Fall aus Fakt, höherdimensional ist das schwieriger, aber auch richtig. Es kann also höchstens eine komplexe Struktur auf derart geben, dass die Abbildung holomorph wird. Zur Existenz überdecken wir mit offenen Mengen , , über denen trivialisiert und wobei die zusammenhängende Kartengebiete mit Karten

sind. Es sei , , die disjunkte Zerlegung von . Wir definieren Karten auf durch

Seien und zwei solche Mengen. Dann ist

und die Holomorphie der Übergangsabbildung folgt aus der Holomorphie der Kartenwechsel auf .