Komplexe Mannigfaltigkeit/Überlagerung/Rückzug/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist mit ${}X$ auch ${}Y$ hausdorffsch. Für eine offene Teilmenge ${}V\subseteq Y$, die homöomorph auf ${}p(V)$ abgebildet wird, muss die komplexe Struktur auf ${}V$ die zurückgezogene Mannigfaltigkeitsstruktur auf ${}p(V)$ sein. Dies folgt im eindimensionalen Fall aus Fakt, höherdimensional ist das schwieriger, aber auch richtig. Es kann also höchstens eine komplexe Struktur auf ${}Y$ derart geben, dass die Abbildung holomorph wird. Zur Existenz überdecken wir ${}X$ mit offenen Mengen ${}U_{i}$, ${}i\in I$, über denen ${}p$ trivialisiert und wobei die ${}U_{i}$ zusammenhängende Kartengebiete mit Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow U_{i}'\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$

sind. Es sei ${}V_{ij_{i}}$, ${}j_{i}\in J_{i}$, die disjunkte Zerlegung von ${}p^{-1}(U_{i})$. Wir definieren Karten auf ${}V_{i,j_{i}}$ durch

$\beta _{i,j_{i}}:=\alpha _{i}\circ p_{j_{i}}\colon V_{i,j_{i}}\longrightarrow U_{i}'.$

Seien ${}V_{i,j_{i}}$ und ${}V_{k,\ell _{k}}$ zwei solche Mengen. Dann ist

${}p{\left(V_{i,j_{i}}\cap V_{k,\ell _{k}}\right)}=U_{i}\cap U_{k}\,$

und die Holomorphie der Übergangsabbildung folgt aus der Holomorphie der Kartenwechsel auf ${}X$.

Zur bewiesenen Aussage