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Komplexe Potenzfunktion/Ableitung/Aufgabe/Lösung
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Komplexe Potenzfunktion/Ableitung/Aufgabe
Der zugrunde liegende Logarithmus sei mit
L
{\displaystyle {}L}
bezeichnet. Es ist
(
z
a
)
′
=
exp
(
a
⋅
L
(
z
)
)
′
=
a
z
⋅
exp
(
a
⋅
L
(
z
)
)
=
a
⋅
exp
(
a
⋅
L
(
z
)
)
exp
(
−
L
(
z
)
)
=
a
⋅
exp
(
a
⋅
L
(
z
)
−
L
(
z
)
)
=
a
⋅
exp
(
(
a
−
1
)
⋅
L
(
z
)
)
=
a
z
a
−
1
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(z^{a}\right)}'&=\exp \left(a\cdot L(z)\right)'\\&={\frac {a}{z}}\cdot \exp \left(a\cdot L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left(a\cdot L(z)\right)\exp \left(-L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left(a\cdot L(z)-L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left((a-1)\cdot L(z)\right)\\&=az^{a-1}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
bezeichnet. Es ist
