Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}\sum _{n=m+1}^{N}\vert {a_{n}}\vert \leq \epsilon$ für alle ${}N>m$. Es sei ${}t$ groß genug, dass

$\{0,1,\ldots ,m\}\subseteq \{\varphi (0),\varphi (1),\ldots ,\varphi (t)\}$

gilt. Für alle ${}{\tilde {t}}\geq t$ und ${}{\tilde {m}}\geq m$ und ${}N={\max {\left({\tilde {m}},\varphi (i),i=1,\ldots ,{\tilde {t}}\right)}}$ gilt

${}\vert {\sum _{i=0}^{\tilde {t}}a_{\varphi (i)}-\sum _{n=0}^{\tilde {m}}a_{n}}\vert \leq \sum _{n=m+1}^{N}\vert {a_{n}}\vert \leq \epsilon \,.$

Dabei gilt die linke Abschätzung, da die ${}a_{n}$, ${}n\leq m$ in beiden Summen vorkommen und sich wegheben, und die ${}a_{n}$ mit ${}n>N$ in keiner der Summen vorkommen. Diese beiden Summen sind die Partialsummen der in Frage stehenden Reihen. Da diese Abschätzung für alle ${}{\tilde {t}}$ und alle ${}{\tilde {m}}$ gilt ergibt sich, dass die Partialsummen den gleichen Grenzwert besitzen. Die absolute Konvergenz folgt, indem man die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ durch ${}\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert$ ersetzt.

Zur bewiesenen Aussage