Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

1. Zwei komplexe Zahlen gelten als äquivalent, wenn sie unter der Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{17},$

   den gleichen Wert besitzen. In einer solchen Situation liegt stets eine Äquivalenzrelation vor.

2. Da ${}{\mathbb {C} }$ ein Körper ist, besteht die Äquivalenzklasse zu ${}0$ allein aus ${}0$, sie ist also einelementig. Die Äquivalenzklasse zu ${}1$ besteht aus den ${}17$ ${}17$-ten Einheitswurzeln. Für von ${}0$ verschiedene Zahlen ist

   ${}z^{17}=w^{17}\,$

   genau dann, wenn

   ${}{\left({\frac {w}{z}}\right)}^{17}=1\,,$

   wenn also ${}w/z$ eine ${}17$-te Einheitswurzel ist. Somit besteht die Äquivalenzklasse zu ${}z\neq 0$ aus der ${}17$ Elementen ${}z\zeta$, wobei ${}\zeta$ die ${}17$-ten Einheitswurzeln durchläuft.

Zur gelösten Aufgabe