Komplexe Zahlen/Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für ${}\mathbb {R}$ gelten. Es ist

${}1\cdot (a+b{\mathrm {i} })=a+b{\mathrm {i} }\,,$

somit ist die ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir

${}{\begin{aligned}{\left((a+b{\mathrm {i} })(c+d{\mathrm {i} })\right)}(e+f{\mathrm {i} })&={\left(ac-bd+(bc+ad){\mathrm {i} }\right)}(e+f{\mathrm {i} })\\&=(ac-bd)e-(bc+ad)f+{\left((ac-bd)f+(bc+ad)e\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-bde-bcf-adf+{\left(acf-bdf+bce+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Ebenso ist

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+d{\mathrm {i} })(e+f{\mathrm {i} })\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(ce-df+(cf+de){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(ce-df)-b(cf+de)+{\left(b(ce-df)+a(cf+de)\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-adf-bcf+-bde+{\left(bce-bdf+acf+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Wenn

${}a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

ist, so ist mindestens eine der Zahlen ${}a$ oder ${}b$ von ${}0$ verschieden und damit ist ${}a^{2}+b^{2}>0$. Somit ist ${}{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl und es gilt

${}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}=1\,,$

also besitzt jedes Element ${}\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }+e+f{\mathrm {i} }\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+e)+(d+f){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(c+e)-b(d+f)+(a(d+f)+b(c+e)){\mathrm {i} }\\&=ac+ae-bd-bf+(ad+af+bc+be){\mathrm {i} }\\&=ac-bd+(ad+bc){\mathrm {i} }+ae-bf+(af+be){\mathrm {i} }\\&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }\right)}+(a+b{\mathrm {i} }){\left(e+f{\mathrm {i} }\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage