Komplexe Zahlen/Nebenklassen/Kreis und reelle positive Gerade/Beispiel

Wir betrachten die Einheitengruppe von ${}{\mathbb {C} }$, also ${}({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot )$.

Zur Untergruppe ${}\mathbb {R} _{+}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie durch Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl auseinander hervorgehen. Die Nebenklassen sind also die Halbstrahlen, die vom Nullpunkt ausgehen.

Zur Untergruppe ${}S^{1}={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie den gleichen Betrag besitzen, also durch eine Drehung ineinander überführbar sind. Die Nebenklassen sind also die Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt.