Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Konjugation/Linearität/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)},$

${}\mathbb {R}$-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation ${}\mathbb {R}$-linear, aber nicht ${}{\mathbb {C} }$-linear ist. Ist der Betrag

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

${}\mathbb {R}$-linear?

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