Komplexes Skalarprodukt/Realteil/Bemerkung

Wenn man einen komplexen Vektorraum ${}V$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ als reellen Vektorraum auffasst, so ist durch den Realteil

$\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}$

ein reelles Skalarprodukt gegeben, siehe Aufgabe. Wegen

${}{\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left({\mathrm {i} }\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle iv,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$

kann man aus dem Realteil das ursprüngliche Skalarprodukt rekonstruieren.