Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt/Beweis

Beweis

Da Verschiebungen und Isometrien die Längen erhalten, ist es klar, dass kongruente Dreiecke längengleich sind. Es seien umgekehrt die beiden längengleichen Dreiecke ${}(A,B,C)$ und ${}(A',B',C')$ gegeben, wobei wir nach Umbenennung annehmen können, dass für die Seitenlängen die Beziehung

${}d(A,B)\geq d(A,C)\geq d(B,C)\,$

und ebenso für das zweite Dreieck gilt. Wir können ${}E=\mathbb {R} ^{2}$ annehmen und durch Verschiebungen erreichen, dass ${}A=A'=0$ ist. Durch Drehungen am Nullpunkt der beiden Dreiecke können wir erreichen, dass sowohl ${}B$ als auch ${}B'$ auf der positiven ${}x$-Achse liegen. Wegen der Längengleichung ist dann ${}B=B'$. Die Punkte ${}C$ und ${}C'$ haben einerseits zu ${}0$ und andererseits zu ${}B$ den gleichen Abstand, d.h. sie liegen auf den Schnittpunkten von einem Kreis um ${}0$ und einem Kreis um ${}B$. Da es nur zwei Schnittpunkte gibt, ist entweder ${}C=C'$ oder ${}C$ und ${}C'$ lassen sich durch eine Achsenspiegelung an der ${}x$-Achse ineinander überführen.

Zur bewiesenen Aussage