Konjugationsklasse/Matrix/F2/Beispiel

Es sei ${}K$ der Körper mit zwei Elementen. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$ auf ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)$ durch Konjugation. Jede invertierbare Matrix hat die Determinante ${}1$ und für die Spur kommen nur die Werte ${}0$ und ${}1$ in Frage. Die Einheitsmatrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ hat die Spur ${}0$, ebenso die Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$. Diese beiden Matrizen liegen also unter der Quotientenabbildung ${}q$ in der gleichen Faser. Sie sind aber nicht zueinander konjugiert (dies gilt für jeden Körper der Charakteristik zwei).

Da ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)$ endlich ist, kann man sich sofort eine polynomiale Abbildung ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ hinschreiben, die auf der Einheitsmatrix den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat und daher nicht durch die obige Quotientenabbildung faktorisiert (eine solche Abbildung ist aber auf ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)$ nicht invariant ausdehnbar).