Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt

Galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen

Es sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und ${}z\in {\mathbb {C} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die komplexe Zahl ${}z$ ist aus ${}K$ konstruierbar.
2. Es gibt in ${}{\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

   ${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$

   mit ${}z\in L$.

3. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$, und der Grad des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
4. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$, und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
5. Es gibt eine endliche Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ (in ${}{\mathbb {C} }$) mit ${}z\in M$, deren Grad eine Zweierpotenz ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen