Konstruktion von Z/Halbgruppe mit Abziehregel/Allgemein/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer kommutativen, assoziativen Verknüpfung ${}*$ und einem neutralen Element ${}e$. Ferner gelte die Kürzungsregel, dass aus ${}a*c=b*c$ stets ${}a=b$ folgt.

1. Zeige, dass auf ${}M\times M$ durch die Festlegung ${}(a,b)\sim (c,d)$, falls ${}a*d=b*c$ gilt, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
2. Zeige, dass man auf der Quotientenmenge ${}M\times M/\sim$ eine Gruppenstruktur definieren kann, die die Verknüpfung auf ${}M$ fortsetzt.

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