Konvergente Folge in R/Lineare Funktionenfolge/Auf R/Nicht gleichmäßig konvergent/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}x$ der Grenzwert der Folge. Für jedes feste ${}t$ konvergiert dann nach Fakt  (3) die Folge ${}tx_{n}$ gegen ${}tx$. Daher liegt punktweise Konvergenz vor und die Grenzfunktion ist

${}f(t)=xt\,.$

Es liegt aber im Allgemeinen keine gleichmäßige Konvergenz vor. Für die Folge ${}x_{n}={\frac {1}{n}}$ ist die Grenzfunktion die Nullfunktion. Für ${}\epsilon =1$ gibt es zu jedem ${}n$ Punkte ${}t\in \mathbb {R}$ mit

${}f_{n}(t)={\frac {1}{n}}t>1\,,$

nämlich für

${}t>n\,.$

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