Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Beweis

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Fakt um einen Integritätsbereich. Für ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\neq 0$ sei ${}k$ der minimale Index mit ${}a_{k}\neq 0$. Dann ist

${}F=T^{k}G\,$

mit der formalen Potenzreihe

${}G=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n-k}\,.$

Die Konvergenz von ${}F$ sichert, dass auch ${}G$ konvergiert. Dabei ist ${}G$ nach Fakt eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von ${}F$ erzeugte Ideal gleich ${}(T^{k})$. Das von einer Elementfamilie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie ${}T^{k_{j}}$, ${}j\in J$, erzeugten Ideal, wobei

${}F_{j}=T^{k_{j}}G_{j}\,$

mit einer Einheit ${}G_{j}$ ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal ${}(T^{k})$, wobei ${}k$ das Minimum der ${}k_{j}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit dem einzigen maximalen Ideal ${}(T)$ und damit ein diskreten Bewertungsring vor.

Zur bewiesenen Aussage