Der Vorfaktor ist irrelvant, wir arbeiten mit
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![{\displaystyle {}f(z)=e^{z}+e^{-z}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b7f277384f7dbb3021e84b7634c241122ca831)
Es ist
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![{\displaystyle {}f'(z)=e^{z}-e^{-z}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658ce4d00291bfbb7085bc8e8afae8d540d5471f)
die Bedingung
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![{\displaystyle {}e^{z}-e^{-z}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb64a204bf96eae07e67ba95104ff18e5773f90b)
führt auf
und durch Multiplikation mit
auf
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![{\displaystyle {}e^{2z}=e^{z}\cdot e^{z}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad35b9eb1dddbc1d8db598becf8a060bc42892cc)
Die Lösungen sind
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![{\displaystyle {}z=n\pi {\mathrm {i} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10daad8c3190b37330699443b0218ecac417178e)
mit
.
Die zweite Ableitung hat keine Nullstelle, also ist der lokale Exponent in den Punkten
![{\displaystyle {}n\pi {\mathrm {i} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfdf90d894517f143b681b08467cc62fe2bb59a)
gleich
![{\displaystyle {}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de50c310dbe5a0c0947cedbb8a6b2fa48b0e3f78)
und in alle anderen Punkten gleich
![{\displaystyle {}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e1b23db5ab6d3c02520ce17d0a7fdabddc8f0f)
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