Kreis/Ellipse/Diffeomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der Beschreibung

${}E={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {5}{4}}v^{2}=1\right\}}\,.$

1. Die Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow E,\,\alpha \longmapsto \left({\sqrt {2}}\cos \alpha ,\,{\frac {2}{\sqrt {5}}}\sin \alpha \right)$

   ist als Abbildung in den ${}\mathbb {R} ^{2}$ stetig differenzierbar und das Bild liegt auf ${}E$. Daher ist sie auch als Abbildung nach ${}E$ stetig differenzierbar. Die Surjektivität wird in (2) mitbewiesen.

2. Wir betrachten die Abbildung

   $S^{1}\longrightarrow E,\,(x,y)\longmapsto \left({\sqrt {2}}x,\,{\frac {2}{\sqrt {5}}}y\right).$

   Diese ist als Einschränkung einer bijektiven linearen Abbildung des ${}\mathbb {R} ^{2}$ stetig differenzierbar und injektiv und landet (aufgrund der expliziten Gleichungen) in der Tat in ${}E$. Sie ist auch surjektiv, da man direkt die Umkehrabbildung

   $E\longrightarrow S^{1},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}u,\,{\frac {\sqrt {5}}{2}}v\right),$

   angeben kann. Da die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreisen surjektiv ist, folgt, dass auch die in (1) angegebene Abbildung surjektiv ist.

Zur gelösten Aufgabe