Kreis/Haarsches Maß/Beispiel

Auf der ${}1$-Sphäre ${}S^{1}$ lässt sich das Haarsche Maß einfach direkt definieren. Für einen Kreisbogen ${}A\subseteq S^{1}$ zu einem Winkel ${}\alpha$ im Bogenmaß muss natürlich ${}\mu (A)=\alpha /2\pi$ sein. Das Haarsche Maß ist also das ${}1/2\pi$-fache des Bogenmaßes. Dieser Ansatz liefert nicht nur ein Maß für zusammenhängende Teilbögen, sondern für jede Borelmenge, indem man von der messbaren Bijektion

$\varphi \colon [0,2\pi )\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

ausgeht und für eine Borelmenge ${}B\subseteq S^{1}$ das Haarsche Maß durch

${}\mu (B)={\frac {\lambda (\varphi ^{-1}(B))}{2\pi }}\,$

definiert, wobei ${}\lambda$ das eindimensionale Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.