Kreis/Trigonometrische Parametrisierung/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass ${}\varphi$ eine lokale Isometrie von riemannschen Mannigfaltigkeiten ist, wenn man ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der euklidischen Struktur und ${}S^{1}$ mit der induzierten riemannschen Struktur versieht.

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