Kreisgleichung/Morphismus/2 zu 1/Aufgabe/Lösung

Es liegt ein Morphismus

$V(Z^{2}+W^{2}-1)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}$

vor. Es ist also lediglich zu zeigen, dass das Bild die Kreisgleichung erfüllt. Dies ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}X^{2}+Y^{2}&={\left(Z^{2}-W^{2}\right)}^{2}+4Z^{2}W^{2}\\&={\left(Z^{2}-{\left(1-Z^{2}\right)}\right)}^{2}+4Z^{2}{\left(1-Z^{2}\right)}\\&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}{\left(1-Z^{2}\right)}\\&=4Z^{4}-4Z^{2}+1+4Z^{2}-4Z^{4}\\&=1.\end{aligned}}$

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