Kreisquadratur/Unmöglickeit/Skizziere/Aufgabe/Lösung

Das Problem der Quadratur des Kreises bedeutet die Fragestellung, ob man aus einem durch den Radius gegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren kann. Den Radius kann man dabei zu ${}1$ normieren und durch zwei Punkte ${}0$ und ${}1$ repräsentieren. Da der Kreisinhalt ${}\pi$ ist, muss die Seitenlänge des zu konstruierenden Quadrates ${}{\sqrt {\pi }}$ sein. Damit ist die Frage äquivalent dazu, ob man aus zwei Punkten mit Abstand ${}1$ mittels Zirkel und Lineal den Abstand ${}{\sqrt {\pi }}$ konstruieren kann.

Der entscheidende Schritt ist, die Menge aller aus ${}0$ und ${}1$ konstruierbaren Punkte in der Ebene mathematisch zu erfassen. Dabei ergibt sich, dass bei jedem elementaren Schritt

(wie dem Durchschnitt von einem Kreis und einer Geraden) der neue Punkt in einer quadratischen Körpererweiterung der schon konstruierten Punkte liegt. Daraus ergibt sich induktiv, dass jeder konstruierbare Punkt eine algebraische Zahl ist. Der Satz von Lindemann besagt allerdings, dass ${}\pi$ und damit auch ${}{\sqrt {\pi }}$ keine algebraische Zahl ist, und damit auch nicht konstruierbar.

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