Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper.

Dann ist ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

${}\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$

Dabei entspricht der Einheit ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus ${}\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{a}$ abbildet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen