Kreisteilungskörper/Q/9/Permutationen/Automorphismen/Aufgabe/Lösung

Die Körperautomorphismen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie jede Einheitswurzel ${}z$ auf ${}z^{a}$ mit einem bestimmten ${}a$ abbilden. Dieses ${}a$ ist dabei durch den ersten Wert ${}\sigma (\zeta )$ festgelegt.

1. Das ist kein Automorphismus, da

   ${}\sigma (\zeta ^{7})=\zeta ^{7}\neq \zeta ^{5}=(\zeta ^{7})^{2}\,.$

2. Jede primitive Einheitswurzel ${}z$ wird auf ${}z^{-1}=z^{8}$ abgebildet, das kommt von einem Automorphismus her.
3. Das ist die Identität.
4. Das ist kein Automorphismus, da

   ${}\sigma (\zeta ^{5})=\zeta ^{4}\neq \zeta ^{7}=\zeta ^{25}=(\zeta ^{5})^{5}\,.$

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