Kreisteilungskörper/Q/Einheitswurzeln/Basis/Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$, ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.

1. Zeige, dass für jedes ${}k$ die (benachbarten) Einheitswurzeln

   $\zeta ^{k},\zeta ^{k+1},\ldots ,\zeta ^{k+{\varphi (n)}-1}$

   eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$.

2. Bilden die primitiven ${}n$-ten Einheitswurzeln stets eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$?

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