Kreisteilungspolynom/15/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}X^{15}-1&=\Phi _{1}\cdot \Phi _{3}\cdot \Phi _{5}\cdot \Phi _{15}\\&=(X-1)\cdot (X^{2}+X+1)\cdot (X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)\cdot \Phi _{15}\\&=(X^{5}-1)\cdot (X^{2}+X+1)\cdot \Phi _{15}.\end{aligned}}$

Wir führen zuerst die Polynomdivision ${}X^{15}-1$ durch ${}X^{5}-1$ durch, dies ergibt den Quotienten ${}X^{10}+X^{5}+1$. Eine weitere Polynomdivision ergibt

$X^{10}+X^{5}+1=(X^{2}+X+1)\cdot (X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1).$

Somit ist

$\Phi _{15}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1.$

Zur gelösten Aufgabe