Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass

${}\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\,$

bereits normal ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Lokalisierung von ${}\mathbb {Z} [\zeta ]$ an jedem Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Es sei

${}{\mathfrak {q}}\cap \mathbb {Z} =(q)\,$

mit einer Primzahl ${}q$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob ${}q=p$ ist oder nicht. Bei ${}q=p$ zeigt Fakt, dass ${}{\mathfrak {q}}=(\zeta -1)$ ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei ${}q\neq p$ lokalisieren wir die Situation an ${}(q)$. Da ${}X^{p}-1$ und seine Ableitung ${}pX^{p-1}$ teilerfremd in ${}\mathbb {Z} _{(q)}[X]$ sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$ einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von ${}(q)$ nach Fakt diskrete Bewertungsringe.

Zur bewiesenen Aussage