Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl ${}q$ folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}n$ ist ein Teiler von ${}q-1$.
2. ${}q=1\mod n$.
3. In ${}\mathbb {Z} /(q)$ gibt es ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln.
4. Das Polynom ${}X^{n}-1$ zerfällt über ${}\mathbb {Z} /(q)$ in verschiedene Linearformen.
5. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ zerfällt über ${}\mathbb {Z} /(q)$ in verschiedene Linearformen.
6. Über ${}(q)$ liegen ${}{\varphi (n)}$ Primideale von ${}R_{n}$.
7. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ hat eine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(q)$ und ${}q$ ist nicht verzweigt.

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