Kritische Punkte und Extrema/(x,y) nach (x^2+xy-6y^2-y)/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion ${}f$ sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=x-12y-1\,.$

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ${}0$ ist. Aus

$2x+y=0\,\,{\text{ und }}\,\,x-12y-1=0$

folgt sofort

$25y+2=0,$

also ${}y=-{\frac {2}{25}}$ und daraus

$x={\frac {1}{25}}.$

Es kann also allenfalls im kritischen Punkt ${}P=\left({\frac {1}{25}},\,{\frac {-2}{25}}\right)$ ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

${\begin{pmatrix}2&1\\1&-12\end{pmatrix}}.$

Der Eintrag links oben ist also positiv und die Determinante ist negativ. Daher ist die Hesse-Matrix indefinit und somit liegt kein Extremum vor.

Zur gelösten Aufgabe