Kryptologie/Erweiterter euklidischer Algorithmus

Einleitung

Kongruenz, Teilbarkeit und Teilerfremdheit
Kongruenz
Seien $a,b\in \mathbb {Z}$ und $m\in \mathbb {N}$ , dann gilt $a\equiv b{\bmod {m}}\Leftrightarrow m\mid (a-b)$ ^[1].
Teilbarkeit
Eine ganze Zahl $a$ teilt eine ganze Zahl $b$ genau dann, wenn es eine ganze Zahl $n$ gibt, für die $a\cdot k=b$ ist. Wir schreiben $a\mid b$ ^[2]^[3].
Teilerfremdheit
Zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ , wobei mindestens einer der beiden Zahlen ungleich Null ist, heißen teilerfremd, wenn $ggT(a,b)=1$ ^[4]. Betrachten wir mehr als zwei Zahlen, dann nennen wir diese paarweise teilerfremd, wenn je zwei beliebige von diesen Zahlen zueinander teilerfremd sind^[5]^[4].

Bei der Schlüsselerzeugung des RSA-Kryptosystems muss das multiplikative Inverse von $e$ mit $e\cdot d\equiv 1{\bmod {\varphi (N)}}$ bestimmt werden. Wir können hierzu den erweiterten euklidischen Algorithmus nutzen, denn dieser berechnet das multiplikative Inverse in ganzzahligen Restklassenringen^[6]^[7].

In einem ersten Schritt bestimmt der Algorithmus hierfür den größten gemeinsamen Teiler $\operatorname {ggT} (a,b)$ zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ . Anschließend werden in einem zweiten Schritt zwei ganze Zahlen $s$ und $t$ , welche die folgende Gleichung erfüllen^[6]:

$\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ ^[6].

Angewandt auf das RSA-Verschlüsselungsverfahren können wir so das multiplikative Inverse von $e$ bestimmen, da wir $e\cdot d\equiv 1{\bmod {\varphi (N)}}$ in $\operatorname {ggT} (e,\varphi (N))=e\cdot d+k\cdot \varphi (N)$ umformen können^[8].

Die Umformung erfolgt mittels Definition von Kongruenz und Teilbarkeit:

$e\cdot d\equiv 1{\bmod {\varphi (N)}}$

$\Leftrightarrow \varphi (N)\mid (e\cdot d-1)$ , nach Definition der Kongruenz

$\Leftrightarrow \varphi (N)\cdot (-k)=e\cdot d-1$ , nach Definition der Teilbarkeit

$\Leftrightarrow 1=e\cdot d+k\cdot \varphi (N)$ , wobei $ggT(e,\varphi (N))=1$ nach Voraussetzung des RSA-Kryptosystem $e$ teilerfremd zu $\varphi ({N})$

Erweiterter Euklidischer Algorithmus

Der erweiterte euklidische Algorithmus wird auf zwei Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$ angewandt und besteht aus zwei Teilen:

Berechnung des $\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ (auch als euklidischer Algorithmus bekannt^[9])
Berechnung zweier ganzer Zahlen $s$ und $t$ , welche die Gleichung $\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ erfüllen^[10]

Zu Teil 1: Berechnung des $\operatorname {ggT} (a,b)$

Größte gemeinsame Teiler, Lemma 1 des $ggT$ , Division mit Rest und Lemma 2 des $ggT$
Größte gemeinsame Teiler
Seien $a,b\in \mathbb {Z}$ , wobei mindestens eine der beiden Zahlen ungleich Null. Wir bezeichnen $d:=ggT(a,b)$ mit $d\in \mathbb {N}$ als den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ , falls gilt: $(1)$ : $d\mid a$ und $d\mid b$ und $(2)$ : Für alle $c\in \mathbb {Z}$ mit $c\mid a$ und $c\mid b\Rightarrow c\leq d$ ^[11].
Lemma 1 des $ggT$
Seien $a,b\in \mathbb {Z}$ , wobei nicht $a=b=0$ . Es gilt $ggT(\|a\|,\|b\|)=ggT(a,b)$ ^[12].
Division mit Rest
Seien $a,b\in \mathbb {Z}$ mit $b\neq 0$ eindeutig bestimmte Zahlen $k\in \mathbb {Z}$ und $r\in \mathbb {N}$ gibt, für die gilt: $a=k\cdot b+r\,,\quad 0\leq r<\|b\|$ ^[13]^[14].
Lemma 2 des $ggT$
Seien $a,b,k,r\in \mathbb {Z}$ und $a=k\cdot b+r$ , dann folgt: $ggT(a,b)=ggT(b,r)$ ^[15].

Betrachten wir zunächst die Berechnung des $\operatorname {ggT} (a,b)$ .

Wir haben bei der formalen Einführung des $\operatorname {ggT}$ bereits gezeigt, dass nach Lemma 1 des $ggT$ $ggT(\mid a\mid ,\mid b\mid )=ggT(a,b)$ und setzen daher voraus, dass $0<b\leq a$ gilt.

Wir können die Division mit Rest auf $a$ und $b$ anwenden und erhalten

$a=k_{1}\cdot b+r_{1}$ , mit $0\leq r_{1}<|b|$ .

Nun unterscheiden wir zwei Fälle:

$(1.1)$ $r_{1}=0$ , dies ist die Abbruchbedingung und wir sind mit Teil 1 fertig
$(1.2)$ $r_{1}\neq 0$ und wir müssen fortfahren.

Im ersten Fall $r_{1}=0$ teilt die Zahl $b$ die Zahl $a$ mit $a=k_{1}\cdot b+0$ , es gilt $\operatorname {ggT} (a,b)=b$ und wir sind mit dem ersten Teil des erweiterten euklidischen Algorithmus fertig.

Im zweiten Fall $r_{1}\neq 0$ wenden wir die Division mit Rest auf $b$ und $r_{1}$ an und erhalten $b=k_{2}\cdot r_{1}+r_{2}$ mit $0\leq r_{2}<r_{1}$ . Es ergeben sich erneut zwei Fälle: $r_{2}=0$ und $r_{2}\neq 0$ .

Tritt der erste Fall "Rest der Gleichung ist Null" ein, so verfahren wir analog zum $r_{1}=0$ und erhalten den gesuchten $\operatorname {ggT} (a,b)$ mit $\operatorname {ggT} (a,b)=r_{1}$ , da nach Lemma 2 des $ggT$ gilt: $\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{1})$ .

Andernfalls verfahren wir analog zu dem obigen Fall $r_{1}\neq 0$ .

Wir folgen diesem Schema $n$ -mal, bis wir ein $r_{n}$ mit $r_{n}=0$ berechnen und das Verfahren abgebrochen wird.

Somit erhalten wir $\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (r_{n-1},r_{n})=\operatorname {ggT} (r_{n-1},0)=r_{n-1}$ ^[16].

Dies lässt sich besonders gut anhand eines Beispiels nachvollziehen.

Beispiel Berechnung des $\operatorname {ggT} (a,b)$

Seien $a=24$ und $b=11$ .

Nach der Division mit Rest gilt:

Gleichung 1: $24=2\cdot 11+2$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 2: $11=5\cdot 2+1$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 3: $2=2\cdot 1+0$ , Fall $(1.1)$

Es gilt $\operatorname {ggT} (24,11)=1$ .

Zu Teil 2: Berechnung der ganzzahligen Koeffizienten $s$ und $t$

Größte gemeinsame Teiler, Lemma von Bézout
Größte gemeinsame Teiler
Seien $a,b\in \mathbb {Z}$ , wobei mindestens eine der beiden Zahlen ungleich Null. Wir bezeichnen $d:=ggT(a,b)$ mit $d\in \mathbb {N}$ als den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ , falls gilt: $(1)$ : $d\mid a$ und $d\mid b$ und $(2)$ : Für alle $c\in \mathbb {Z}$ mit $c\mid a$ und $c\mid b\Rightarrow c\leq d$ ^[11].
Lemma von Bézout
Für alle $a,b\in \mathbb {Z}$ existieren $s,t\in \mathbb {Z}$ , sodass gilt: $ggT(a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ ^[17]^[18].

Aus der Berechnung des $\operatorname {ggT} (a,b)$ wissen wir, dass

$\operatorname {ggT} (a,b)=b$ für $n=1$ Durchführungen und $b\leq a$

oder

$\operatorname {ggT} (a,b)=r_{n-1}$ für $n>1$ Durchführungen

des Schemas aus Teil 1 ist.

Es gilt nach dem Lemma von Bézout $ggT(a,b)=r_{n-1}=s\cdot a+t\cdot b$ .

Wurde zur Berechnung des $\operatorname {ggT} (a,b)$ nur die Gleichung $a=k_{1}\cdot b+r_{1}$ benötigt, so ist $r_{1}=0$ und wir können die ganzzahligen Koeffizienten $s=1$ und $t=k_{1}$ aus der Gleichung ablesen.

Andernfalls müssen wir durch das Einsetzen der Informationen aus den Gleichungen, die man bei der Berechnung des $\operatorname {ggT} (a,b)$ berechnet hat, die Gleichung $r_{n-1}=s\cdot a+t\cdot b$ erzeugen.

Allgemein ergeben sich drei Fälle:

$(2.1)$ die Gleichung enthält $a$ und $b$ in der Form $r_{n-1}=\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ bzw. wird in diese Form umgestellt
$(2.2)$ die Gleichung beinhaltet genau einen der beiden vorausgesetzten Zahlen $a$ und $b$
$(2.3)$ die Gleichung enthält weder $a$ noch $b$ .

Im ersten Fall $(2.1)$ sind die ganzzahligen Koeffizienten der Zahlen $a$ bzw. $b$ genau $s$ bzw. $t$ und können, nach geeigneter Umstellung, in die Form $r_{n-1}=\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ abgelesen werden. Das Verfahren wird daraufhin abgebrochen.

Im zweiten Fall $(2.2)$ kann der ganzzahlige Koeffizient der vorhanden Zahl $a$ bzw. $b$ genau $s$ bzw. $t$ noch nicht abgelesen werden, da die Informationen zur fehlenden Zahl $a$ bzw. $b$ sich auf die den Koeffizienten der vorhanden Zahl $a$ bzw. $b$ auswirken können. Die vorhandene Zahl wird stattdessen "nur" beibehalten und nicht durch andere Informationen ersetzt. Der fehlende gesuchte Koeffizient muss durch erneutes Einsetzten von Informationen aus vorherigen Gleichungen aus Teil 1 bestimmt werden, wobei die bereits vorhandene Zahl $a$ bzw. $b$ nicht weiter durch Informationen ersetzt werden muss.

Im letzten Fall $(2.3)$ müssen wir die in der Gleichung enthalten Reste aus den vorherigen Gleichungen aus Teil 1 erneut einsetzen^[15].

Wir veranschaulichen das Vorgehen anhand eines Beispiels.

Beispiel Berechnung der ganzzahligen Koeffizienten $s$ und $t$

Berechnung der Faktoren $s$ und $t$ mit $\operatorname {ggT} (24,11)=s\cdot 24+t\cdot 11$ .

Wir wissen aus dem obigen Beispiel zu Teil 1, dass gilt: $\operatorname {ggT} (24,11)=1$

und wir wissen nach Gleichung 2 aus Teil 1, dass gilt: $11=5\cdot 2+1$

Da wir die Gleichung nach $\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ umformen wollen, muss der $ggT(24,11)=1$ zunächst alleine auf einer Seite stehen

$11=5\cdot 2+1$

$\Leftrightarrow 1=11-5\cdot 2$ , Fall $(2.2)$

$\Leftrightarrow 1=11-5\cdot (24-2\cdot 11)$ , Fall $(2.1)$

$\Leftrightarrow 1=-5\cdot 24+11\cdot 11$ , Fall $(2.1)$ mit Umformung

Nun können wir die Koeffizienten $s=-5$ und $t=11$ ablesen.

Zur Veranschaulichung führen wir noch die Probe durch:

$-5\cdot 24+11\cdot 11=-120+121=1$ .

Lernaufgabe

Aufgabe

Wenden Sie den erweiterten euklidischen Algorithmus auf $a=23$ und $b=120$ an.

Bemerkung: Wir nutzen diese Rechnung im Beispiels der Schlüsselerzeugung des RSA-Verschlüsselungsverfahrens.

Lösung

Wir wenden den erweiterten euklidischen Algorithmus auf das Beispiel zur Schlüsselgenerierung des RSA-Verschlüsselungsverfahrens an.

Berechnung $\operatorname {ggT} (a,b)$

Nach der Division mit Rest gilt:

Gleichung 1: $120=5\cdot 23+5$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 2: $23=4\cdot 5+3$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 3: $5=1\cdot 3+2$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 4: $3=1\cdot 2+1$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 5: $2=2\cdot 1+0$ , Fall $(1.1)$

Es gilt $\operatorname {ggT} (120,23)=1$ .

Berechnung der Faktoren $s$ und $t$ mit $\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$

Da wir die Gleichung nach $\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$ umformen wollen, muss der $ggT(120,23)=1$ zunächst alleine auf einer Seite stehen

$3=1\cdot 2+1$

$\Leftrightarrow 1=3-1\cdot 2$ , Fall $(2.3)$

$\Leftrightarrow 1=3-1\cdot (5-1\cdot 3)$ , Fall $(2.3)$ , da nach Gleichung 3 aus Teil 1 $5=1\cdot 3+2\Leftrightarrow 5-1\cdot 3=2$

$\Leftrightarrow 1=2\cdot 3-5$ , Fall $(2.3)$

$\Leftrightarrow 1=2\cdot (23-4\cdot 5)-5$ , Fall $(2.2)$ , da nach Gleichung 2 aus Teil 1 $23=4\cdot 5+3\Leftrightarrow 23-4\cdot 5=3$ mit $b=23$

$\Leftrightarrow 1=2\cdot 23-9\cdot 5$ , da $-8\cdot 5-5=-9\cdot 5$ , Fall $(2.2)$

$\Leftrightarrow 1=2\cdot 23-9\cdot (120-5\cdot 23)$ , Fall $(2.1)$ da nach Gleichung 1 aus Teil 1 $120=5\cdot 23+5\Leftrightarrow 120-4\cdot 23=5$

$\Leftrightarrow 1=2\cdot 23-9\cdot 120+45\cdot 23$ , durch Umformung

$\Leftrightarrow 1=47\cdot 23-9\cdot 120$ , Fall $(2.1)$

$\Rightarrow s=47$ und $t=-9$

Probe

$47\cdot 23-9\cdot 120=1081-1080=1$

Lernempfehlung

Kursübersicht
Übergeordnete Lerneinheit
7.1: Schlüsselerzeugung des RSA-Verschlüsselungsverfahrens
Vorherige Lerneinheit	Aktuelle Lerneinheit	Empfohlene Lerneinheit
7.1.4: Miller-Rabin-Test (Primzahltest 3)	7.1.5: Erweiterter euklidischer Algorithmus	7.1.6: Eulersche φ-Funktion

Literatur

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