Kubische Gleichung/X^3+5X+2/An (2)/Beispiel

Es sei

in liegt die Faktorzerlegung vor. Modulo ist

Da der zweite Faktor doppelt vorkommt, kann man Fakt nicht anwenden, und es wird sich auch gleich ergeben, dass in der Tat nicht normal ist. Das Element ist ein Primelement in , da der Restklassenring modulo gleich

ist. Dagegen ist kein Primelement, da

nicht reduziert ist. In wird das durch die Eigenschaft

widergespiegelt. Das Element ist kein Primelement in , sein Restklassenring ist . Jedenfalls haben wir in die beiden Primideale und , wobei normal ist und nicht. was darauf beruht, dass weder noch ein Erzeuger ist. Wir wollen die Normalisierung bestimmen.

Die definierende Gleichung kann man auch als

schreiben. Somit ist

d.h.

erfüllt die Ganzheitsgleichung

Nach Hinzunahme von diesem ganzen Element wird zu einem Hauptideal, erzeugt von . Da einerseits

und andererseits

gilt, erfüllt die Gleichung

Somit gilt

Dabei gilt die Faktorzerlegung

vor, der Restklassenring hat wieder die Darstellung . Das zum zweiten Primfaktor zugehörige Ideal wird wieder nicht von einem Element erzeugt.