Kubische Kurve/Kongruente Zahl/Überführbarkeit/Beispiel

Wir betrachten die elliptischen Kurven der Form ${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ bzw. ${}y^{2}=x^{3}-m^{2}x$ mit ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$, die in Zusammenhang mit den kongruenten Zahlen auftreten. Nach Fakt sind die beiden genau dann durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar, wenn der Quotient ${}{\frac {m^{2}}{n^{2}}}$ eine vierte Potenz in ${}\mathbb {Q}$ ist, wenn also ${}{\frac {m}{n}}$ ein Quadrat (in ${}\mathbb {Q}$ und dann bereits) in ${}\mathbb {Z}$ ist. Bei elliptischen Kurven dieser Bauart kann man sich also auf quadratfreie natürliche Zahlen ${}n$ beschränken. Wenn man diese Kurven als elliptische Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ betrachtet, so sind sie alle gleich.