Wir zeigen zuerst, dass die dritten Wurzeln
und
so gewählt werden können, dass ihr Produkt gleich
ist. Für eine irgendwie gewählte Quadratwurzel
und irgendwie gewählte dritte Wurzeln
und
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}uv&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}-{\frac {1}{81}}(-3D)\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}+{\frac {1}{27}}{\left(-4p^{3}-27q^{2}\right)}\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {-4}{27}}p^{3}}}\\&={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{27}}p^{3}}}\\&=\eta {\left(-{\frac {p}{3}}\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9cb8df2941710943836e6022e2692db0956e11)
wobei
eine dritte Einheitswurzel ist. Ersetzt man nun
durch
, so ist das Produkt gleich
.
Wir berechen nun
-
und müssen zeigen, dass dies gleich
ist. Die angegebenen Elemente sind offenbar die Nullstellen dieses faktorisierten Polynoms. Es ist

Der quadratische Koeffizient ist
(unter Verwendung von
Fakt)
-

Der lineare Koeffizient ist

Der konstante Koeffizient ist
