Wir zeigen zuerst, dass die dritten Wurzeln
und
so gewählt werden können, dass ihr Produkt gleich
ist. Für eine irgendwie gewählte Quadratwurzel
und irgendwie gewählte dritte Wurzeln
und
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}uv&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}-{\frac {1}{81}}(-3D)\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}+{\frac {1}{27}}{\left(-4p^{3}-27q^{2}\right)}\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {-4}{27}}p^{3}}}\\&={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{27}}p^{3}}}\\&=\eta {\left(-{\frac {p}{3}}\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9cb8df2941710943836e6022e2692db0956e11)
wobei
eine dritte Einheitswurzel ist. Ersetzt man nun
durch
, so ist das Produkt gleich
.
Wir berechen nun
-
und müssen zeigen, dass dies gleich
ist. Die angegebenen Elemente sind offenbar die Nullstellen dieses faktorisierten Polynoms. Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(x-u-v)(x-\epsilon u-\epsilon ^{2}v)(x-\epsilon ^{2}u-\epsilon v)&=x^{3}-(u+v+\epsilon u+\epsilon ^{2}v+\epsilon ^{2}u+\epsilon v)x^{2}\\&\,\,\,\,+((u+v)(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)+(u+v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v)+(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v))x\\&\,\,\,\,-(u+v)(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v).\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f258dd482de3bd680f76609769c1564d67bb6a)
Der quadratische Koeffizient ist
(unter Verwendung von
Fakt)
-
![{\displaystyle {}u{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}+v{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e220e7d734dc6b83ab17e4902c6d9bb5fdfc513b)
Der lineare Koeffizient ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(u+v){\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}+(u+v){\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}+{\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}{\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}&=u^{2}{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}+1\right)}+v^{2}{\left(\epsilon ^{2}+\epsilon +1\right)}+uv{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}+\epsilon ^{2}+\epsilon +\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4}\right)}\\&=-{\frac {p}{3}}(-3)\\&=p.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b6993cfaaaaa9aa50f2a7d34d8fb08cbe1772a)
Der konstante Koeffizient ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}-(u+v){\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}{\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}&=-u^{3}-u^{2}v{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}-uv^{2}{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}-v^{3}\\&=-u^{3}-v^{3}\\&=-{\frac {1}{2}}{\left(-q+{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}-{\frac {1}{2}}{\left(-q-{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}\\&=q.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d6e6196fab584bb6294cf2cb00c500fe2a86d6)