Kubischer Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Reelle Ganzheitsmatrix/Diskriminante/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt  (1) ist die Diskriminante des Zahlbereiches ${}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ gleich

${}\triangle =-27\cdot 2^{2}=-3^{3}\cdot 2^{2}=-108\,.$

Die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis ${}1,X,X^{2}$ ist nach Aufgabe gleich

${\begin{pmatrix}1&{\sqrt[{3}]{2}}&{\sqrt[{3}]{4}}\\1&-{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2}}&-{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\\0&{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}&-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\end{pmatrix}}.$

Ihre Determinante ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(-{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\right)}-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}{\left(-{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\right)}-{\left({\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\right)}-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\right)}\\&={\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}}{4}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\\&={\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}}{4}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}}{2}}\\&={\sqrt {3}}+2{\sqrt {3}}\\&=3{\sqrt {3}},\,\end{aligned}}$

und diese Zahl ist das Volumen der Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$ des Gitters. Es besteht also in der Tat wegen ${}s=1$ der in Fakt beschriebene Zusammenhang

${}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4\cdot 27}}={\sqrt {27}}=3{\sqrt {3}}=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,.$

Zur gelösten Aufgabe