Kubisches Polynom/x^3+x^2-x+1/Lokale Extrema/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=3x^{2}+2x-1\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(x)=6x+2\,.$

2. Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung. Die Gleichung ${}3x^{2}+2x-1=0$ bzw. ${}x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {1}{3}}=0$ führt auf

   ${}{\begin{aligned}x_{1},x_{2}&={\frac {-{\frac {2}{3}}\pm {\sqrt {{\frac {4}{9}}+{\frac {4}{3}}}}}{2}}\\&={\frac {-{\frac {2}{3}}\pm {\frac {4}{3}}}{2}}\\&=-{\frac {1}{3}}\pm {\frac {2}{3}}\\&=-1,{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

   Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(-1)=-4<0\,$

   liegt an der Stelle ${}-1$ ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert ${}2$ vor und wegen

   ${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {1}{3}}\right)}=4>0\,$

   liegt an der Stelle ${}{\frac {1}{3}}$ ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert ${}{\frac {22}{27}}$ vor.

3. Aufgrund der Berechnung aus Teil (2) wissen wir, dass für

   ${}x\geq -1\,$

   die Funktion positiv ist. Für

   ${}x\leq -1\,$

   ist die Funktion streng wachsend und somit gibt es dort genau eine Nullstelle (da ein Polynom vom Grad ${}3$ vorliegt oder wegen

   ${}f(-2)=-1\,$

   wissen wir, dass es negative Werte gibt).

4. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es über ${}{\mathbb {C} }$ eine Zerlegung des Polynoms in drei Linearfaktoren. Die reelle Nullstelle ist wegen dem dortigen strengen Wachstum keine mehrfache Nullstelle, somit muss es zumindest eine nichtreelle komplexe Nullstelle geben. Zu dieser ist auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle, also gibt es genau drei komplexe Nullstellen.
5. Die Tangente am lokalen Maximum ${}(-1,2)$ hat die konstante Funktionsbeschreibung

   ${}t(x)=2\,,$

   da ja die Ableitung von ${}f$ an dieser Stelle ${}0$ ist.

6. Es geht um die ${}x\in \mathbb {R}$ mit

   ${}f(x)=2\,$

   bzw. mit

   ${}f(x)-2=x^{3}+x^{2}-x-1=0\,.$

   Da wir die Lösung ${}x=-1$ schon kennen, können wir die Division mit Rest durchführen und erhalten

   ${}x^{3}+x^{2}-x-1=(x+1)(x^{2}-1)=(x+1)(x+1)(x-1)\,.$

   Die Schnittpunkte sind also ${}(-1,2)$ und ${}(1,2)$.

7. Im eingeschlossenen Gebiet verläuft der Funktionsgraph unterhalt der Tangente. Ihr Flächeninhalte berechnen wir, indem wir vom Inhalt des Rechteckes ${}[-1,1]\times [0,2]$ den Flächeninhalt unterhalb des Graphen abziehen. Wegen der lokalen Minimumsberechnung wissen wir, dass auf ${}[-1,1]$ die Funktion positiv ist. Eine Stammfunktion zu ${}f$ ist

   ${}F(x)={\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+x\,.$

   Somit ist

   ${}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+xdx=\left({\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+x\right)|_{-1}^{1}={\frac {1}{3}}\cdot 2+2={\frac {8}{3}}\,$

   und damit ist der gesuchte Flächeninhalt gleich

   ${}2\cdot 2-{\frac {8}{3}}={\frac {4}{3}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe