Kuchen backen/Rezept und Zutaten/Beispiel

Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl (abhängig von den Wünschen der Gäste) an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt ${}500$ Gramm Mehl, ${}200$ Gramm Zucker, ${}100$ Gramm Butter, ${}250$ Gramm Milch und ${}300$ Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt ${}300$ Gramm Mehl, ${}230$ Gramm Zucker, ${}100$ Gramm Butter, ${}100$ Gramm Milch und ${}450$ Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt ${}400$ Gramm Mehl, ${}250$ Gramm Zucker, ${}150$ Gramm Butter, ${}200$ Gramm Milch, ${}500$ Gramm Äpfel und ${}100$ Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel ${}(x,y,z)$, die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl (in Kilogramm) gilt beispielsweise die Formel

$0{,}5x+0{,}3y+0{,}4z.$

Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung (bzw. die Matrix) beschrieben (wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind).

$\mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{8},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}4\\0{,}2&0{,}23&0{,}25\\0{,}1&0{,}1&0{,}15\\0{,}25&0{,}1&0{,}2\\0{,}3&0&0\\0&0{,}45&0\\0&0&0{,}5\\0&0&0{,}1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$