Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/2/Aufgabe/Lösung

In den neuen Koordinaten ${}u,v,w$ wird das Bild durch die Gleichung

${}{\frac {1}{4}}u^{2}+{\frac {1}{9}}v^{2}+w^{2}=1\,$

beschrieben, es handelt sich also um die Oberfläche eines Ellipsoids. Ein Punkt mit den Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ wird ja auf den Punkt ${}{\begin{pmatrix}2x\\3y\\-z\end{pmatrix}}$ abgebildet und die Bildpunkte der Kugeloberfläche erfüllen

${}{\frac {1}{4}}(2x)^{2}+{\frac {1}{9}}(3y)^{2}+(-z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,.$

Wenn umgekehrt ein Punkt ${}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}$ die Gleichung erfüllt, so erfüllt das (eindeutig bestimmte) Urbild, also ${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}u\\{\frac {1}{3}}v\\-w\end{pmatrix}}$, wegen

${}{\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{3}}v\right)}^{2}+{\left(-w\right)}^{2}={\frac {1}{4}}u^{2}+{\frac {1}{9}}v^{2}+w^{2}=1\,$

die Ursprungsgleichung.

Zur gelösten Aufgabe