Kugelkoordinaten/Diffeomorphismus/Einführung/Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$

(bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie $\mathbb {R} _{\geq 0}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$) nennt man Kugelkoordinatenauswertung. Diese Abbildung bildet die Kugelkoordinaten ${}(r,\theta ,\varphi )$ auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten ${}(x,y,z)$ ab.

Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: ${}r$ ist der Abstand von ${}(x,y,z)$ zum Nullpunkt. Bei ${}r=1$ definieren die beiden Winkel ${}\varphi$ und ${}\theta$ einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt ${}\varphi$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der ${}x-y$-Ebene (auf dem Äquator) und ${}\theta$ bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis (der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist), wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für (${}r=1$ und) einen festen Winkel ${}\theta$ parametrisiert ${}\varphi$ einen Breitenkreis, wobei ${}\theta ={\frac {\pi }{2}}$ den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel ${}\varphi$ hingegen parametrisiert ${}\theta$ den oben angesprochenen Halbkreis, einen Längenkreis. In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus ${}[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ (statt ${}+$ und ${}-$ spricht man von nördlicher und südlicher Breite) und nimmt ${}-\sin \theta$.

Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

${\begin{pmatrix}\cos \varphi \sin \theta &r\cos \varphi \cos \theta &-r\sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &r\sin \varphi \cos \theta &r\cos \varphi \sin \theta \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist

$r^{2}\sin \theta .$

D.h. bei ${}r\neq 0$ und ${}\theta \notin \mathbb {Z} \pi$ ist das totale Differential invertierbar und daher liegt nach Fakt ein lokaler Diffeomorphismus vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen ${}\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times [0,2\pi [$ und ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus {\left\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \right\}}$ vorliegt.