Kugeloberfläche/Falsche Berechnung/Pseudo-Cavalieri-Prinzip/Beispiel

Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe ${}h\in [0,1]$ ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch ${}z=h$ definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius ${}{\sqrt {1-h^{2}}}$. Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist ${}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}$. Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann (mit der Substitution ${}h=\sin s$)

${}{\begin{aligned}A&=2\int _{0}^{1}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{1}{\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}s\,ds\\&=4\pi {\frac {1}{2}}(s+\sin s\cos s)|_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\pi {\frac {\pi }{2}}\\&=\pi ^{2}.\end{aligned}}$

Der wahre Wert ist aber mit ${}4\pi$ deutlich größer.