Kurs:Abitur/Mathematik/Bayern/Geometrie/Vektoren

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Definition

Ein Vektor ist durch seine Länge und seine Richtung festgelegt, und kann als eine Verschiebung im Raum (2D oder 3D) verstanden werden.

Arten und Eigenschaften

Ein Vektor wird in folgender Schreibweiße dargestellt: ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

Wobei der Wert von

• x_1 für die x_1 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.
• x_2 für die x_2 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.
• x_3 für die x_3 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.

Ortsvektor

1. Darstellung in 2D

Einen Vektor, der den Ursprung: ${\vec {O}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ mit einem Punkt P = ${\begin{pmatrix}P_{1}\\P_{2}\\P_{3}\end{pmatrix}}$ verbindet. (Bild 1.)

Beispiel

2. Darstellung in 2D

• Der Ortsvektor zum Punkt P(4|2) ist ${\vec {P}}={\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$
• Der Ortsvektor zum Punkt Q(-5|4) ist ${\vec {Q}}={\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}$

(Bild 2.)

Verbindungsvektor

Verbindungsvektoren beschreiben die Verschiebung von einem Punkt A(a1|a2|a3) zu einem Punkt B(b1|b2|b3).

${\vec {A}}B={\begin{pmatrix}b1-a1\\b2-a2\\b3-a3\end{pmatrix}}$

Beispiel

Zur Veranschaulichung kannst du die Eigenschaften von Verbindungsvektoren in diesem interaktiven Arbeitsblatt selbst (in 2D) untersuchen.

Einheitsvektor

Ein Vektor wird als Einheitsvektor bezeichnet, wenn er die Länge 1 beträgt.

Um den Einheitsvektor ${\vec {a}}^{0}$ des Vektors ${\vec {a}}$ zu ermitteln wird folgende Formel angewandt:

${\vec {a}}^{0}$ = ${\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}$

Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors gibt die "Länge der Verschiebung" im Raum an.

Er wird durch folgende Formel ermittelt:

$a=|{\vec {a}}|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}$

Beispiel

• Der Betrag vom Vektor ${\vec {V}}={\begin{pmatrix}-5\\4\\2\end{pmatrix}}$ ist $|{\vec {V}}|$

• $|{\vec {V}}|={\sqrt {{\vec {V}}\cdot {\vec {V}}}}={\sqrt {{-5}^{2}+{4}^{2}+{2}^{2}}}=40$

Rechnen mit Vektoren

Addition / Subtraktion

Zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$werden addiert bzw. subtrahiert, indem die einzelnen Koordinaten der Vektoren addiert bzw. subtrahiert werden.

Muster

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$ und ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

• ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$.

bzw.:

• ${\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\a_{3}-b_{3}\end{pmatrix}}$.

Beispiel

Skalare Multiplikation

Ein Vektor ${\vec {a}}$ wird mit einem Skalar $r\in \mathbb {R}$ multipliziert, indem jede Koordinate von ${\vec {a}}$ mit r multipliziert wird. Dabei wird die Länge des Vektors verändert, seine Richtung bleibt jedoch gleich.

Muster

$r{\vec {a}}=r\,{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{1}\\ra_{2}\\ra_{3}\end{pmatrix}}$

Beispiel

lineare (Un-)Abhängigkeit

Muster

Beispiel

Skalarprodukt

Muster

Beispiel

Kreuzprodukt

3. Darstellung in 3D

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt gennant) zweier Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ bildet einen Dritten Vektor ${\vec {c}}$ , welcher Orthogonal (im rechten Winkel) auf den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ steht.

(Bild 3.)

Muster

Gebildet wird das Kreuzprodukt mit folgender Formel.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}\,$

Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften des Vektors ${\vec {c}}$.

• ${\vec {c}}\cdot {\vec {a}}=0$
• ${\vec {c}}\cdot {\vec {b}}=0$

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\sin \theta \,.$

Dabei bezeichnen $\vert {\vec {a}}\vert$ und $\vert {\vec {b}}\vert$ die Längen der Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$, und $\sin \theta \,$ ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels $\theta$.

Beispiel

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 9-3\cdot 8\\3\cdot (-7)-1\cdot 9\\1\cdot 8-2\cdot (-7)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-30\\22\end{pmatrix}}\,.$

Übungen

weitere Lernangebote

TheSimpleMaths: [ttps://youtu.be/UKfKOPjOGio?list=PLjaA00udJtOpn73fqft-kcdST4ac2HW4U Grundlagen Vektoren]